Uniformisierte Strukturen

  • Uniformisierte Strukturen in Arithmetik und Geometrie

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Uniformisierte Strukturen in Arithmetik und Geometrie

Wie lassen sich komplizierte geometrische Räume durch einfachere Räume beschreiben? Das Konzept der Uniformisierung, welches auf Arbeiten der berühmten Mathematiker Bernhard Riemann und Felix Klein aus dem 19. Jahrhundert zurückgeht, liefert hierfür einen Ansatz. Es erlaubt, einen komplizierten geometrischen Raum durch einen deutlich einfacheren zu ersetzen, ohne die lokale Struktur zu verändern. Die Komplexität wird dabei durch innere Symmetrien des einfacheren Raumes beschrieben. Diese Grundidee hat sich als äußerst schlagkräftig erwiesen und wurde seither in verschiedene Richtungen verallgemeinert, wie etwa auf sogenannte nichtarchimedische Geometrien.
Im LOEWE-Schwerpunkt „Uniformisierte Strukturen in Arithmetik und Geometrie“ sollen durch die Verbindung verschiedener Techniken der Uniformisierung neue Einsichten zu aktuellen arithmetischen und geometrischen Klassifikationsproblemen gewonnen werden. Gegenstand der Untersuchungen sind dabei algebraische Varietäten, also Lösungsmengen von Gleichungssystemen, die durch Polynome gegeben sind. Wichtige Beispiele, wie elliptische Kurven und Calabi-Yau-Varietäten, spielen auch in Anwendungen in der Kryptographie und in der Mathematischen Physik eine prominente Rolle. Kryptographische Verfahren, die auf elliptischen Kurven und verwandten zahlentheoretischen Strukturen basieren, werden z. B. zur Verschlüsselung bei Online-Einkäufen und Handytelefonaten eingesetzt.